загрузка...
Event-менеджмент / Адміністративний менеджмент / Бренд-менеджмент / Інноваційний менеджмент / Інформаційний менеджмент / Контролінг / Лідерство / Менеджмент в галузі / Менеджмент ресторанного та готельного бізнесу / Менеджмент (іспит) / Організаційна поведінка / Організація виробництва / Основи менеджменту / Практика з менеджменту / Виробничий менеджмент / Ризик-менеджмент / Стратегічний менеджмент / Теорія управління / Управління організацією / Управління персоналом / Управління проектами / Управлінські рішення
Головна >
Менеджмент >
Ризик-менеджмент >
« Попередня Наступна »
Я.Д.Вішняков, Н.Н.Радаев. Загальна теорія ризиків: навч. посібник для студ. вищ. навч. закладів. - 2-е вид., Испр. - М.: Видавничий центр «Академія». - 368 с., 2008 - перейти до змісту підручника

11.3. Статистичний метод - біноміальна схема

загрузка...

Аналіз схеми пуассоновского потоку випадкових подій показує, що при малих а (А /) (коли 0 (А1) -> 0, N - »° °) для числа подій в інтервалі часу А! справедливо біноміальний розподіл.

Для оцінки ймовірності негативної події для конкретного об'єкта розглянемо сукупність однорідних об'єктів об'ємом / V,

схильних в рівній мірі розглянутої небезпеки, тобто що належать одній і також генеральної сукупності.

Припустимо, п = I, / V - число негативних подій (наприклад, смертей або аварій) в оцінюваному році по розглянутій причини, а N - обсяг спостережень, тобто число спостережуваних об'єктів (наприклад, чисельність популяції), схильних розглянутого ризику. Якщо негативні події є незалежними, то випадкова величина числа негативних подій (наприклад, загиблих)% (п <\ з математичним очікуванням

Л / |? 1 = N0 (11.7)

і дисперсією

о2? 1 = Л ^ 1-О). (11.8)

З виразу (11.7) випливає, що 0 = М \ ^ \ / №, а її несмещенная оцінка збігається з оцінкою максимальної правдоподібності і обчислюється за формулою

О = - ^ т, 1 / (об'єкт рік). (11.9)

N

Це співвідношення збігається з формулою (11.5), якщо в останньому прийняти, що Т одно I році.

Дисперсию оцінки (11.9) для рідкісних подій з урахуванням (11.8) обчислюють за формулою

(п.ю)

а її абсолютна статистична похибка Д ((? | = г * о ((? |, де гу - квантиль нормального розподілу рівня у.

Отже, в припущенні біноміального розподілу числа негативних подій (об'єктів, в яких відбулися негативні події) із загального числа піддаються розглянутого ризику об'єктів статистична невизначеність оцінки (11.9) характеризується відносною похибкою, оцінюваної з аналітичної залежності:

5 == (ii.ll)

При малих СНА /) і великих УУ співвідношення (11.3) і (11.11) призводять до однакових результатів, але для застосування (11.11) не потрібне використання таблиць.

Таким чином, чим менше оцінюваний ризик 0 (А1) і наявний обсяг спостережень Л /, тим більше статистична похибка. Отже, для її зниження варто збільшувати обсяг спостережень.

Накладемо на точність оцінки показника ризику обмеження 5

= 8 "(11.12)

де 5Т - необхідна точність або допустиме значення відносної похибки оцінки 0 (А1).

Отримаємо з (11.11) співвідношення для обсягу спостережень, необхідного для виконання обмеження (11.12):

N> N, =? 1 ^, (11.13)

С / о;

залежного від рівня оцінюваної ймовірності (?. З виразу (11.11) з урахуванням (11.1) слід і обмеження на Нереалізована число негативних подій:

Г

Припустимо 8Т = 1 - у. Тоді при 5Т = 10% п \ = 164. Для якісних оцінок застосовності статистичного методу будемо використовувати умова п> 100 (див. рис. 11.1, а).

Статистичний метод кількісної оцінки ризику вимагає значного обсягу даних, які не завжди є (особливо при оцінці ймовірностей рідкісних подій), а їх збір і обробка можуть досить дорого обійтися.

Тому при недостатності інформації для використання статистичного методу (забезпечення необхідної точності оцінки показника ризику) необхідно використовувати інші методи (див. рис. 11.1), засновані на залученні додаткових даних. На точність одержуваних з їх допомогою оцінок впливає точність цієї інформації. Чим менше об'єм спостережень, тим більше необхідно додаткової інформації для забезпечення необхідної точності оцінки.

У разі оцінки показників ризику від рідкісних подій, коли має місце значна статистична похибка оцінки, тобто наявної статистики по розглядався об'єкту недостатньо для оцінки показника ризику з прийнятною точністю (N Для підвищення точності використовують об'єднання однорідних (включаючи байєсовські методи об'єднання апріорної інформації і даних спостережень (В.П.Савчук, 1989)) і неоднорідних даних. Об'єднання однорідних (що належать одній генеральній сукупності) даних проводять шляхом їх підсумовування. Для об'єднання неоднорідних даних необхідні процедури перерахунку, засновані на залученні додаткової інформації про моделі перенесення інформації. До методів об'єднання оцінок відносяться лінійне об'єднання незалежних оцінок, застосування множинної регресії для лінійного об'єднання оцінок і ін

Об'єднання однорідних статистичних даних. Для зниження статистичної похибки і забезпечення необхідної точності оцінки показника ризику в багатьох випадках можна збільшити обсяг спостережень за рахунок розширення інтервалу спостереження, тобто шляхом об'єднання статистичних даних (за їх наявності) за кілька років - часовий ряд.

Припустимо, що умови реалізації негативних подій протягом Т років залишаються незмінними, тобто досліджувані щорічні вибірки є однорідними і належать одній генеральній сукупності. Тоді показник ризику на аналізований рік оцінюють за формулою

0 (д,) =-И_, (11.14)

X *

1 = 1

де п, і / V, - число негативних подій і середньорічний обсяг спостережень в г-му році; Г = I, ..., Т - порядковий номер року; Т - загальний число років спостереження (останнього в ряду) року.

Якщо IV, = NV / = 1, ..., Т, то отримаємо співвідношення 0 (Л /) =

= ~ 77 ^ 'збігається з ( 11.5). Підвищення точності оцінки дос-/ V /

Тігана за рахунок збільшення обсягу спостережень в Т раз. Домножимо чисельник і знаменник у формулі (11.14) на 1 / Т, отримаємо

«л /) -? -,

* СР

де Ц; Р = 4г? Л '- середньорічне число негативних подій по

Т 1 = 1

7 січня

розглянутої причини; Л / Ср =? =; 5 *, - середньорічний обсяг

Т 1 = 1

спостережень (наприклад, чисельність розглядуваної популяції).

Підвищення точності оцінки ймовірності в цьому випадку пояснюється підвищенням точності оцінки середніх значень із збільшенням числа інтервалів спостережень.

Аналогічний результат отримаємо і в результаті розгляду індивідуальної ймовірності негативних подій за Т років. Так як

т

X *

<2 <гдг) = ^ -

ср

N .

тобто N2 = N, / 7 '. Враховуючи, що (11.1) записується у вигляді п = ВЯП, то для Т = 10 років отримаємо п2 = Пу / Т = 100/10 = 10.

Якщо допущення про однорідність не виконується, то за формулою (11.14) оцінюють середню ймовірність 0 негативної події в рік від розглянутої причини за інтервал спостереження, яка за наявності тенденції до зниження (підвищення) частоти реалізації небезпеки може стати дуже далекою від істинної. У результаті буде мати місце деяка систематична похибка оцінки (рис. 11.3).

Рис. 11.3. Часовий ряд і його апроксимація лінійною функцією

N> N2 =

А

то 8Г

Із збільшенням періоду спостереження обсяг статистичних даних зростає, а точність оцінки підвищується. При використанні даного способу підвищення точності нерівність (11.13) записується у вигляді

Об'єднання неоднорідних даних за декілька років. Підвищення точності оцінок вимагає збільшення обсягу статистичних даних, що пов'язано зі збільшенням інтервалу спостереження. Однак під впливом безлічі суперечливо впливають неконтрольованих факторів число п негативних подій є випадковим (мається випадковий розкид по роках). Крім того, з плином часу змінюються і умови прояву розглянутої небезпеки. Це призводить до того, що статистичні дані вже не належать досліджуваної генеральної сукупності, тобто є неоднорідними. Наприклад, на залізницях спостерігається довготривала стійка тенденція до зниження аварійності за рахунок впровадження нових технічних засобів. Для підвищення точності оцінювання показника ризику в розглянутому році з урахуванням даних за минулі роки, що належать різним генеральним совокупностям, необхідно використовувати методи об'єднання неоднорідних даних. Наявні дані можна перерахувати на умови оцінюваного року при відомій моделі динаміки (при цьому виникають питання точності використовуваної моделі) числа негативних подій.

Так як на основі отриманих оцінок показників приймають довгострокові рішення, то при оцінці ризику в розглянутому році доцільно орієнтуватися не на Нереалізована число негативних подій п, а на детерміновану складову ряду (тренд) (В. Н. Афанасьєв, 2001). Завдання ставиться таким чином. Необхідно за наявною статистикою за Г років дати на аналізований Т-й рік оцінку (або прогноз на Т + 1-й рік) математичного сподівання числа (частоти) а (Д /) негативних подій.

Математичне сподівання числа негативних подій на аналізований рік можна оцінити за статистикою за кілька років (тимчасовому ряду) за допомогою інтерполяції (див. рис. 11.2)

а (Т ) = / (п пт), (11.15)

а прогнозувати за допомогою екстраполяції:

а (Т + т) = ф (я,, ... , пг), (11.16)

де т = 1, 2, ... - горизонт прогнозу.

Взагалі прогноз числа негативних подій можливий, якщо є адекватна математична модель. При її відсутності зазвичай проводять обробку наявних статистичних даних п \ у п2, .... пт (тимчасових рядів), що представляють собою запис поведінки об'єкта в минулому. При наявності такої інформації можливе: побудувати систему рівнянь, з певною точністю відтворюючу поведінка спостережуваного об'єкта; дати прогноз майбутньої поведінки часового ряду ЯГ + |, «74 +2, ....

Будемо інтерполювати (екстраполювати) математичне сподівання числа негативних подій від деякої причини за допомогою лінійної моделі, побудованої за статистичними даними за кілька років:

(11.17)

я (/) = а + (І /,

де г - номер року.

Точність оцінки (прогнозу) а (А1) за моделлю (11.17) визначається через характеристику коливання ряду ст "Так як вихідний часовий ряд розглядають як вибірку з генерального ряду, продолжаемого і в минуле, і майбутнє, то при обчисленні <т" слід враховувати втрату ступенів свободи колеблемости:

де g - число параметрів у рівнянні тренда (для (11.17) g = 2).

Середньорічні обсяги спостережень за певний інтервал представимо поруч JVh N2, ..., N ".. ., NT. Припустимо N = const. Тоді ймовірність негативної події в розглянутому році оцінюють але формулою

де йг / (Д /) = а + РГ-оцінка за виразом (11.17) математичного сподівання числа негативних подій в Т-му році, точність якої характеризується величиною а ".

Так як поряд зі статистичною похибкою необхідно враховувати і випадковий розкид числа негативних подій по роках під впливом різних неконтрольованих факторів, то ТОЧНІСТЬ оцінки Ог (АГ) по (11.18) визначають за формулою Оу =

= де а2 обчислюють за формулою (11.10). Тоді відноси

тельную похибка оцінки ймовірності негативної події з урахуванням (11.11) визначають за формулою

_ zja2 + а2 NQ

Ймовірність негативного події в розглянутому році оцінюють також за формулою

Qr (At) = Q +-VT,

де Q обчислюють за формулою (11.14). Точність цієї оцінки залежить від статистичної похибки розрахунку Q і похибки визначення коефіцієнта моделі р, враховує флуктуації

числа негативних подій по роках: о2 = ^ Гар.

При змінюваному обсязі спостережень ймовірність негативної події в розглянутому році можна оцінити за формулою Qr (At) = а0 + де ау і - параметри моделі Q (t) = aQ + Рр /, встановлюваної з тимчасового ряду Qx, Qr. Можна отримати вирази для оцінки показника ризику і для випадків, коли тренд апроксимується кусково-лінійної або нелінійної функцією.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =